diff options
Diffstat (limited to 'phw.tex')
| -rw-r--r-- | phw.tex | 511 |
1 files changed, 511 insertions, 0 deletions
@@ -0,0 +1,511 @@ +% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) -- + +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, color, inconsolata, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed } +\usepackage[shortlabels]{enumitem} + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=1.35in, right=1.35in, + top=1.1in, bottom=1in, + headsep=.2in } + +% -- Frame settings (for problem statement) -- +\setlength\FrameSep{0.55em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument +% is the question number, second argument is the statement -- +\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}} +\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} +\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} + +% -- Flush left for 'enumerate' numbers +%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Make reference section title font smaller -- +%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}} + + +% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support -- +% \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign} +% \usepackage[T1]{fontenc} + + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} +\lhead{ИДЗ-1} +\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192} + +% -- Document starts here -- +\begin{document} + +\url{https://fcked.net/la} - тут должны валяться все скрипты, на которые я ссылаюсь + +\question{1.}{ + Решить СЛУ для любого $t \in \mathbb{R}$: + $$ + \begin{bmatrix} + -1 && -t - 1 && 5 && 4 + t\\ + -1 && -t - 2 && 6 && 6 - t\\ + 2 && 2t + 1 && -9 && -6 -3t\\ + \end{bmatrix} x = + \begin{bmatrix} + -4\\ + -4\\ + 6\\ + \end{bmatrix} + $$ +} + +Заведем матрицу +$$ +\begin{bmatrix} + -1 && -t - 1 && 5 && 4 + t && -4\\ + -1 && -t - 2 && 6 && 6 - t && -4\\ + 2 && 2t + 1 && -9 && -6 -3t && 6\\ +\end{bmatrix} +$$ + +и будем приводить ее к ступенчатому виду. + +С помощью элементарных преобразований, описанных в \url{scr_1.py} получаем + +$$ +\begin{bmatrix} + 1 && t + \frac{1}{2} && -\frac{9}{2} && -3 && 0\\ + 0 && 1 && -1 && -2 && 4\\ + 0 && 0 && 0 && t && -2\\ +\end{bmatrix} +$$ + +Очевидно, что если $t = 0$, то система не имеет решений, иначе +\begin{align*} + x_4 &= \frac{-2}{t}\\\\ + x_3 &= k, k \in \mathbb{R}\\\\ + x_2 &= 4 + 2x_4 + x_3 = 4 - \frac{4}{t} + x_3\\\\ + x_1 &= 3x_4 + \frac{9}{2}x_3 - \left(t + \frac{1}{2}\right)x_2 = \\ + &= -\frac{6}{t} + \frac{9}{2}x_3 - \left(tx_3 + 4t - \frac{2}{t} + \frac{x}{2} - 2\right) =\\ + &= -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)x_3 \\\\ + x &= \begin{bmatrix} + -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)k \\ + 4 - \frac{4}{t} + x_3 \\ + k \\ + -\frac{2}{t} \\ + \end{bmatrix}, \forall k \in \mathbb{R} \\\\ + \end{align*} + +\clearpage + +\question{2.}{ +Найти $f_{min}$ для $A = + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & -t \\ + -5 & -3 & t - 5 \\ + 0 & 0 & t - 3 + \end{bmatrix}$ +} + +Пусть +\begin{gather*} + F_A = f_{min} (A)\\ + F_1 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix}\right)\\ + F_2 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} t - 3 \end{bmatrix}\right)\\ +\end{gather*} + +По блочным формулам $F_A$ делит $F_1 \cdot F_2$. + +$F_1$ делит $(x + 3)^2$, потому что матрица - нижнетреугольная, +но $$ +\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} + 3id_2 = +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} \neq 0 +$$ + +Поэтому $F_1 = (x + 3)^2$. +$F_2$ очевидно равен $x - t + 3$ +\newline + +Рассмотрим два случая: $t = 0 \Rightarrow F_2 = x + 3$ и $t \neq 0 \Rightarrow F_2 \neq x + 3$. + +\begingroup +\leftskip2em +\rightskip\leftskip +Во втором случае $F_A$ делит $(x + 3)^2(x - t + 3)$, +но так как степень записанного многочлена равна 3, то это и есть минимальный многочлен. +\par +\endgroup + +\begingroup +\leftskip2em +\rightskip\leftskip +В первом случае $F_A$ делит $(x + 3)^3$, но для +\par +\endgroup +$$ + A = \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 0 \\ + -5 & -3 & -5 \\ + 0 & 0 & -3 + \end{bmatrix} +$$ + +\begingroup +\leftskip2em +\rightskip\leftskip +можно уже в лоб проверить, что $(x + 3)$ недостаточно, чтобы занулить $A$, а $(x + 3)^2$ -- уже достаточно, +поэтому $(x + 3)^2$ и есть минимальный многочлен. +\par +\endgroup +\vspace{5mm} +Поэтому если $t = 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2$, +если $t \neq 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2(x - t + 3)$ + +\clearpage + +\question{3.}{ + Существует ли матрица $A \in M_{2,3} (\mathbb{R})$, такая, что $Ax = 0$ для + $$ + x \in \left\{ + \begin{bmatrix} + -5 \\ -5 \\ -3 + \end{bmatrix}, + \begin{bmatrix} + 7 \\ -5 \\ -4 + \end{bmatrix} + \right\} + $$ + + и существует такой $y \in M_{1,3} (\mathbb{R})$, что + $$ + Ay = \begin{bmatrix} + 3 \\ 4 + \end{bmatrix} + $$ +} + +Пусть +$$ + A = \begin{bmatrix} + a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 + \end{bmatrix},\ \ \ \ + y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} +$$ + +Переформулируем условие (перемножим то, что нужно и поэлементно приравняем): +$$ + \begin{bmatrix} + -5 & -5 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & -5 & -5 & -3 \\ + 7 & -5 & -4 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 7 & -5 & -4 \\ + + y_1 & y_2 & y_3 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & y_1 & y_2 & y_3 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 + \end{bmatrix} +\text{ - имеет решение} +$$ + +Заметим, что нечетные и четные уравнения (строки) - независимы. +Поэтому можно сначала решить четные, а потом нечетные, а потом "склеить"\ результаты. + +Решим нечетные уравнения. Для этого решим сначала первое и третье, а потом подгоним решение под пятое +(все равно решений будет либо $0$, либо $\infty$, причем если решений $0$, +то нужной матрицы не существует) +$$ + \begin{bmatrix} + -5 & -5 & -3 \\ + 7 & -5 & -4 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + a_1 \\ a_2 \\ a_3 + \end{bmatrix} += 0 +$$ +\begin{gather*} + \begin{bmatrix} + -5 & -5 & -3 & 0 \\ + 7 & -5 & -4 & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 7 & -5 & -4 & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 0 & -12 & -8\frac{1}{5} & 0 \\ + \end{bmatrix} \\ + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 0 & 12 & 8\frac{1}{5} & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\ + 0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\ + \end{bmatrix}\rightarrow + \begin{bmatrix} + 1 & 0 & -\frac{1}{12} & 0 \\ + 0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\ + \end{bmatrix}\\\\ + a_3 = k, k \in \mathbb{R}, \ \ \ \ \ \ + a_2 = -\frac{41}{60}k, \ \ \ \ \ \ + a_1 = \frac{1}{12}k +\end{gather*} + +Теперь подгоним для оставшегося уравнения + +\begin{gather*} + y_1 a_1 + y_2 a_2 + y_3 a_3 = 3\\ + k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 3 +\end{gather*} + +Пусть $k = 3, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется. +\\ + +Сделаем то же самое для четных уравнений. +Решение второго и четвертого абсолютно такое же, осталось подогнать под последнее. + +\begin{gather*} + y_1 a_4 + y_2 a_5 + y_3 a_6 = 4\\ + k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 4 +\end{gather*} + +Пусть $k = 4, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется. + +Запишем саму $A$ + +$$ +\renewcommand\arraystretch{1.7} + A = \begin{bmatrix} + \frac{1}{12} \cdot 3 & -\frac{41}{60} \cdot 3 & 3 \\ + \frac{1}{12} \cdot 4 & -\frac{41}{60} \cdot 4 & 4 \\ + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + \frac{1}{4} & -\frac{41}{20} & 3 \\ + \frac{1}{3} & -\frac{41}{15} & 4 \\ + \end{bmatrix} +$$ +\begin{gather*} + A \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1.6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \ \ \ \ + A \times \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ + A \times \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ -4 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ +\end{gather*} + +\clearpage + +\question{4.}{ + Найти все матрицы $3 \times 3$, коммутирующие с + $ + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 8 \\ + 1 & -3 & -1 \\ + 0 & 0 & 5 \\ + \end{bmatrix} + $ +} + +Пусть $A = +\begin{bmatrix} + x_1 & x_2 & x_3 \\ + x_4 & x_5 & x_6 \\ + x_7 & x_8 & x_9 \\ +\end{bmatrix}$ + +Тогда + +$$ + \begin{bmatrix} + x_1 & x_2 & x_3 \\ + x_4 & x_5 & x_6 \\ + x_7 & x_8 & x_9 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 8 \\ + 1 & -3 & -1 \\ + 0 & 0 & 5 \\ + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + x_2 - 3 x_1 && -3 x_2 && 8 x_1 - x_2 + 5 x_3 \\ + x_5 - 3 x_4 && -3 x_5 && 8 x_4 - x_5 + 5 x_6 \\ + x_8 - 3 x_7 && -3 x_8 && 8 x_7 - x_8 + 5 x_9 \\ + \end{bmatrix} +$$ +$$ + \begin{bmatrix} + -3 & 0 & 8 \\ + 1 & -3 & -1 \\ + 0 & 0 & 5 \\ + \end{bmatrix} +\times + \begin{bmatrix} + x_1 & x_2 & x_3 \\ + x_4 & x_5 & x_6 \\ + x_7 & x_8 & x_9 \\ + \end{bmatrix} += + \begin{bmatrix} + 8 x_7 - 3 x_1 && 8 x_8 - 3 x_2 && 8 x_9 - 3 x_3 \\ + x_1 - 3 x_4 - x_7 && x_2 - 3 x_5 - x_8 && x_3 - 3 x_6 - x_9 \\ + 5 x_7 && 5 x_8 && 5 x_9 \\ + \end{bmatrix} +$$ + +Оба произведения должны быть поэлементно равны, поэтому должна выполняться система +\begin{gather} + 8x_7 - 3x_1 = x_2 - 3x_1\\ + 8x_8 - 3x_2 = -3x_2\\ + 8x_9 - 3x_3 = 8x_1 - x_2 + 5x_3\\ + x_1 - 3x_4 - x_7 = x_5 - 3x_4\\ + x_2 - 3x_5 - x_8 = -3x_5\\ + x_3 - 3x_6 - x_9 = 8x_4 - x_5 + 5x_6\\ + 5x_7 = x_8 - 3x_7\\ + 5x_8 = -3x_8\\ + 5x_9 = 8x_7 - x_8 + 5x_9 +\end{gather} + +Из (1), (2), (5), (7), (8), (9) следует, что $x_2 = x_7 = x_8 = 0$. +Остальные можно записать как уравнение + +$$ +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ + 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ + 0 & 1 & -8 & 1 & -8 & -1 \\ +\end{bmatrix} +\times +\begin{bmatrix} + x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9 +\end{bmatrix} += +0 +$$ + +С помощью \url{scr_2.py} переходим к +$$ +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ +\end{bmatrix} +\times +\begin{bmatrix} + x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9 +\end{bmatrix} += +0 +$$ + +$x_9, x_6, x_5$ - свободные, $x_4 = -x_6$, $x_3 = x_9 - x_5$, $x_1 = x_5$. + +Тогда вид матрицы, коммутирующей с нужной: +$$ +\begin{bmatrix} + x_5 & 0 & x_9 - x_5 \\ + -x_6 & x_5 & x_6 \\ + 0 & 0 & x_9 \\ +\end{bmatrix} \text{ для любых } x_5, x_6, x_9 \in \mathbb{R} +$$ + +\clearpage + +\question{5.}{ + Сколько главных переменных у $ + \begin{bmatrix} 7 & -8 \\ -1 & -9 \end{bmatrix} \times + \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \times + \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -2 & t \end{bmatrix} = 0 + $ +} + +Перемножим в лоб матрицы. Получим +$$ +\begin{bmatrix} + 35 & -40 & -14 & 16 \\ + -5 & -45 & 2 & 18 \\ + -28 & 32 & 7t & -8t \\ + 4 & 36 & -t & -9t \\ +\end{bmatrix} x = 0 +$$ + +С помошью \url{scr_3} Получим +$$ +\renewcommand\arraystretch{1.5} +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7t - 56/5 & -8t + 64/5 \\ + 0 & 0 & 0 & -71/7t + 568/35 \\ +\end{bmatrix} += +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7(t - 8/5) & -8(t - 8/5) \\ + 0 & 0 & 0 & -71/7(t - 8/5) \\ +\end{bmatrix} +$$ + +Отсюда следует, что если $t = 8/5$, то у системы ровно две свободные переменные ($x_3, x_4$) +и, соответственно, две главные ($x_1, x_2$) +а если $t \neq 8/5$, то мы можем последние строки разделить на $t - 8/5$ и получить ступенчатый вид. +$$ +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7 & -8 \\ + 0 & 0 & 0 & -71/7 \\ +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 7 & -8 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & -2/5 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & -2/5 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ +\end{bmatrix} +$$ + +Тогда все переменные будут главными. + +Поэтому $t = 8/5 \Rightarrow $ 2 главные переменные, $t \neq 8/5 \Rightarrow $ 4 главные переменные. + +\clearpage + +\end{document}
\ No newline at end of file |