path: root/phw.tex

% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) --

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}


\usepackage{
  amsmath, amsthm, amssymb, mathtools,
  graphicx, subfig, float,
  listings, color, inconsolata,
  fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed }
\usepackage[shortlabels]{enumitem}

\flushbottom                                         % Uncomment to make text fill the entire page
\usepackage[bottom]{footmisc}                        % Anchor footnotes to bottom of page
\renewcommand{\baselinestretch}{1.06}                % Adjust line spacing
%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation
\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,          % Set page margins
  left=1.35in, right=1.35in,
  top=1.1in, bottom=1in,
  headsep=.2in }

% -- Frame settings (for problem statement) --
\setlength\FrameSep{0.55em}
\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}

% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument
% is the question number, second argument is the statement --
\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}}
\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)}
\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}

% -- Flush left for 'enumerate' numbers
%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left}

\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}

% -- Make reference section title font smaller --
%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}}


% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support --
%  \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign}
%  \usepackage[T1]{fontenc}


% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\lhead{ИДЗ-1}
\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}

% -- Document starts here --
\begin{document}

\url{https://fcked.net/la} - тут должны валяться все скрипты, на которые я ссылаюсь

\question{1.}{
  Решить СЛУ для любого $t \in \mathbb{R}$:
  $$
  \begin{bmatrix}
    -1 && -t - 1 && 5  && 4 + t\\
    -1 && -t - 2 && 6  && 6 - t\\
    2  && 2t + 1 && -9 && -6 -3t\\
  \end{bmatrix} x = 
  \begin{bmatrix}
    -4\\
    -4\\
    6\\
  \end{bmatrix}
  $$
}

Заведем матрицу
$$
\begin{bmatrix}
  -1 && -t - 1 && 5  && 4 + t  && -4\\
  -1 && -t - 2 && 6  && 6 - t  && -4\\
  2  && 2t + 1 && -9 && -6 -3t && 6\\
\end{bmatrix}
$$

и будем приводить ее к ступенчатому виду.

С помощью элементарных преобразований, описанных в \url{scr_1.py} получаем

$$
\begin{bmatrix}
  1 && t + \frac{1}{2} && -\frac{9}{2} && -3 && 0\\
  0 && 1               && -1           && -2 && 4\\
  0 && 0               && 0            && t  && -2\\
\end{bmatrix}
$$

Очевидно, что если $t = 0$, то система не имеет решений, иначе
\begin{align*}
  x_4 &= \frac{-2}{t}\\\\
  x_3 &= k, k \in \mathbb{R}\\\\
  x_2 &= 4 + 2x_4 + x_3 = 4 - \frac{4}{t} + x_3\\\\
  x_1 &= 3x_4 + \frac{9}{2}x_3 - \left(t + \frac{1}{2}\right)x_2 = \\
      &= -\frac{6}{t} + \frac{9}{2}x_3 - \left(tx_3 + 4t - \frac{2}{t} + \frac{x}{2} - 2\right) =\\
      &= -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)x_3 \\\\
  x   &= \begin{bmatrix}
            -\frac{2 (2 t^2 - t + 2)}{t} - (t - 4)k \\
            4 - \frac{4}{t} + x_3 \\
            k \\
            -\frac{2}{t} \\
         \end{bmatrix}, \forall k \in \mathbb{R} \\\\
  \end{align*}

\clearpage

\question{2.}{
Найти $f_{min}$ для $A =
  \begin{bmatrix}
    -3 & 0 & -t \\
    -5 & -3 & t - 5 \\
    0 & 0 & t - 3
  \end{bmatrix}$
}

Пусть
\begin{gather*}
  F_A = f_{min} (A)\\
  F_1 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix}\right)\\
  F_2 = f_{min}\left(\begin{bmatrix} t - 3 \end{bmatrix}\right)\\
\end{gather*}

По блочным формулам $F_A$  делит $F_1 \cdot F_2$.

$F_1$ делит $(x + 3)^2$, потому что матрица - нижнетреугольная,
но $$
\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} + 3id_2 =
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} \neq 0
$$

Поэтому $F_1 = (x + 3)^2$.
$F_2$ очевидно равен $x - t + 3$
\newline

Рассмотрим два случая: $t = 0 \Rightarrow F_2 = x + 3$ и $t \neq 0 \Rightarrow F_2 \neq x + 3$.

\begingroup
\leftskip2em
\rightskip\leftskip
Во втором случае $F_A$ делит $(x + 3)^2(x - t + 3)$,
но так как степень записанного многочлена равна 3, то это и есть минимальный многочлен.
\par
\endgroup

\begingroup
\leftskip2em
\rightskip\leftskip
В первом случае $F_A$ делит $(x + 3)^3$, но для
\par
\endgroup
$$
  A = \begin{bmatrix}
    -3 & 0 & 0 \\
    -5 & -3 & -5 \\
    0 & 0 & -3
  \end{bmatrix}
$$

\begingroup
\leftskip2em
\rightskip\leftskip
можно уже в лоб проверить, что $(x + 3)$ недостаточно, чтобы занулить $A$, а $(x + 3)^2$ -- уже достаточно,
поэтому $(x + 3)^2$ и есть минимальный многочлен.
\par
\endgroup
\vspace{5mm}
Поэтому если $t = 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2$,
если $t \neq 0$, то $f_{min} (A) = (x + 3)^2(x - t + 3)$

\clearpage

\question{3.}{
  Существует ли матрица $A \in M_{2,3} (\mathbb{R})$, такая, что $Ax = 0$ для
  $$
    x \in \left\{
        \begin{bmatrix}
          -5 \\ -5 \\ -3
        \end{bmatrix},
        \begin{bmatrix}
          7 \\ -5 \\ -4
        \end{bmatrix}
      \right\}
  $$
  
  и существует такой $y \in M_{1,3} (\mathbb{R})$, что
  $$
  Ay = \begin{bmatrix}
         3 \\ 4
       \end{bmatrix}
  $$
}

Пусть
$$
  A = \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6
      \end{bmatrix},\ \ \ \ 
  y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}
$$

Переформулируем условие (перемножим то, что нужно и поэлементно приравняем):
$$
  \begin{bmatrix}
    -5 & -5 & -3 & 0  &  0 &  0 \\
     0 &  0 &  0 & -5 & -5 & -3 \\
     7 & -5 & -4 &  0 &  0 &  0 \\
     0 &  0 &  0 &  7 & -5 & -4 \\

     y_1 & y_2 & y_3 & 0 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 0 & y_1 & y_2 & y_3 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4
  \end{bmatrix}
\text{ - имеет решение}
$$

Заметим, что нечетные и четные уравнения (строки) - независимы.
Поэтому можно сначала решить четные, а потом нечетные, а потом "склеить"\  результаты.

Решим нечетные уравнения. Для этого решим сначала первое и третье, а потом подгоним решение под пятое
(все равно решений будет либо $0$, либо $\infty$, причем если решений $0$,
то нужной матрицы не существует)
$$
  \begin{bmatrix}
    -5 & -5 & -3 \\
    7 & -5 & -4 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    a_1 \\ a_2 \\ a_3
  \end{bmatrix}
= 0
$$
\begin{gather*}
  \begin{bmatrix}
    -5 & -5 & -3 & 0 \\
     7 & -5 & -4 & 0 \\
  \end{bmatrix}\rightarrow
  \begin{bmatrix}
     1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
     7 & -5 & -4 & 0 \\
  \end{bmatrix}\rightarrow
  \begin{bmatrix}
     1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
     0 & -12 & -8\frac{1}{5} & 0 \\
  \end{bmatrix} \\
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
    0 & 12 & 8\frac{1}{5} & 0 \\
  \end{bmatrix}\rightarrow
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 & \frac{3}{5} & 0 \\
    0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\
  \end{bmatrix}\rightarrow
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & -\frac{1}{12} & 0 \\
    0 & 1 & \frac{41}{60} & 0 \\
  \end{bmatrix}\\\\
  a_3 = k, k \in \mathbb{R}, \ \ \ \ \ \ 
  a_2 = -\frac{41}{60}k, \ \ \ \ \ \ 
  a_1 = \frac{1}{12}k
\end{gather*}

Теперь подгоним для оставшегося уравнения

\begin{gather*}
  y_1 a_1 + y_2 a_2 + y_3 a_3 = 3\\
  k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 3
\end{gather*}

Пусть $k = 3, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется.
\\

Сделаем то же самое для четных уравнений.
Решение второго и четвертого абсолютно такое же, осталось подогнать под последнее.

\begin{gather*}
  y_1 a_4 + y_2 a_5 + y_3 a_6 = 4\\
  k\left(\frac{y_1}{12} - \frac{41}{y_2} + y_3\right) = 4
\end{gather*}

Пусть $k = 4, y_1 = 1, y_2 = 1, y_3 = 1.6$. Тогда равенство, очевидно, выполняется.

Запишем саму $A$

$$
\renewcommand\arraystretch{1.7}
  A = \begin{bmatrix}
    \frac{1}{12} \cdot 3 & -\frac{41}{60} \cdot 3 & 3 \\
    \frac{1}{12} \cdot 4 & -\frac{41}{60} \cdot 4 & 4 \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    \frac{1}{4} & -\frac{41}{20} & 3 \\
    \frac{1}{3} & -\frac{41}{15} & 4 \\
  \end{bmatrix}
$$
\begin{gather*}
  A \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1.6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \ \ \ \ 
  A \times \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ 
  A \times \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ -4 \end{bmatrix} = 0, \ \ \ \ 
\end{gather*}

\clearpage

\question{4.}{
  Найти все матрицы $3 \times 3$, коммутирующие с
  $
  \begin{bmatrix}
    -3 & 0 & 8 \\
    1 & -3 & -1 \\
    0 & 0 & 5 \\
  \end{bmatrix}
  $
}

Пусть $A = 
\begin{bmatrix}
  x_1 & x_2 & x_3 \\
  x_4 & x_5 & x_6 \\
  x_7 & x_8 & x_9 \\
\end{bmatrix}$

Тогда

$$
  \begin{bmatrix}
    x_1 & x_2 & x_3 \\
    x_4 & x_5 & x_6 \\
    x_7 & x_8 & x_9 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    -3 & 0 & 8 \\
    1 & -3 & -1 \\
    0 & 0 & 5 \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    x_2 - 3 x_1 && -3 x_2 && 8 x_1 - x_2 + 5 x_3 \\
    x_5 - 3 x_4 && -3 x_5 && 8 x_4 - x_5 + 5 x_6 \\
    x_8 - 3 x_7 && -3 x_8 && 8 x_7 - x_8 + 5 x_9 \\
  \end{bmatrix}
$$
$$
  \begin{bmatrix}
    -3 & 0 & 8 \\
    1 & -3 & -1 \\
    0 & 0 & 5 \\
  \end{bmatrix}
\times
  \begin{bmatrix}
    x_1 & x_2 & x_3 \\
    x_4 & x_5 & x_6 \\
    x_7 & x_8 & x_9 \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    8 x_7 - 3 x_1     && 8 x_8 - 3 x_2     && 8 x_9 - 3 x_3 \\
    x_1 - 3 x_4 - x_7 && x_2 - 3 x_5 - x_8 && x_3 - 3 x_6 - x_9 \\
    5 x_7             && 5 x_8             && 5 x_9 \\
  \end{bmatrix}
$$

Оба произведения должны быть поэлементно равны, поэтому должна выполняться система
\begin{gather}
  8x_7 - 3x_1 = x_2 - 3x_1\\
  8x_8 - 3x_2 = -3x_2\\
  8x_9 - 3x_3 = 8x_1 - x_2 + 5x_3\\
  x_1 - 3x_4 - x_7 = x_5 - 3x_4\\
  x_2 - 3x_5 - x_8 = -3x_5\\
  x_3 - 3x_6 - x_9 = 8x_4 - x_5 + 5x_6\\
  5x_7 = x_8 - 3x_7\\
  5x_8 = -3x_8\\
  5x_9 = 8x_7 - x_8 + 5x_9
\end{gather}

Из (1), (2), (5), (7), (8), (9) следует, что $x_2 = x_7 = x_8 = 0$.
Остальные можно записать как уравнение

$$
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
  0 & 1 & -8 & 1 & -8 & -1 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
  x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9
\end{bmatrix}
=
0
$$

С помощью \url{scr_2.py} переходим к
$$
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
  0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
  x_1 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_9
\end{bmatrix}
=
0
$$

$x_9, x_6, x_5$ - свободные, $x_4 = -x_6$, $x_3 = x_9 - x_5$, $x_1 = x_5$.

Тогда вид матрицы, коммутирующей с нужной:
$$
\begin{bmatrix}
  x_5 & 0 & x_9 - x_5 \\
  -x_6 & x_5 & x_6 \\
  0 & 0 & x_9 \\
\end{bmatrix} \text{ для любых } x_5, x_6, x_9 \in \mathbb{R}
$$

\clearpage

\question{5.}{
  Сколько главных переменных у $
    \begin{bmatrix} 7 & -8 \\ -1 & -9 \end{bmatrix} \times
    \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \times
    \begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -2 & t \end{bmatrix} = 0
  $
}

Перемножим в лоб матрицы. Получим
$$
\begin{bmatrix}
  35 & -40 & -14 & 16 \\
  -5 & -45 & 2 & 18 \\
  -28 & 32 & 7t & -8t \\
  4 & 36 & -t & -9t \\
\end{bmatrix} x = 0
$$

С помошью \url{scr_3} Получим
$$
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
  0 & 0 & 7t - 56/5 & -8t + 64/5 \\
  0 & 0 & 0 & -71/7t + 568/35 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
  0 & 0 & 7(t - 8/5) & -8(t - 8/5) \\
  0 & 0 & 0 & -71/7(t - 8/5) \\
\end{bmatrix}
$$

Отсюда следует, что если $t = 8/5$, то у системы ровно две свободные переменные ($x_3, x_4$)
и, соответственно, две главные ($x_1, x_2$)
а если $t \neq 8/5$, то мы можем последние строки разделить на $t - 8/5$ и получить ступенчатый вид.
$$
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
  0 & 0 & 7 & -8 \\
  0 & 0 & 0 & -71/7 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
  0 & 0 & 7 & -8 \\
  0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & -2/5 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & -2/5 \\
  0 & 0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$

Тогда все переменные будут главными.

Поэтому $t = 8/5 \Rightarrow $ 2 главные переменные, $t \neq 8/5 \Rightarrow $ 4 главные переменные.

\clearpage

\end{document}