diff options
Diffstat (limited to 'sol0930.tex')
| -rw-r--r-- | sol0930.tex | 227 |
1 files changed, 227 insertions, 0 deletions
diff --git a/sol0930.tex b/sol0930.tex new file mode 100644 index 0000000..1f580b6 --- /dev/null +++ b/sol0930.tex @@ -0,0 +1,227 @@ +% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) -- + +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[russian]{babel} + + +\usepackage{ + amsmath, amsthm, amssymb, mathtools, + graphicx, subfig, float, + listings, color, inconsolata, + fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed } +\usepackage[shortlabels]{enumitem} + +\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page +\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page +\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing +%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation +\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins + left=1.35in, right=1.35in, + top=1.1in, bottom=1in, + headsep=.2in } + +% -- Frame settings (for problem statement) -- +\setlength\FrameSep{0.55em} +\setlength\OuterFrameSep{\partopsep} + +% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument +% is the question number, second argument is the statement -- +\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}} +\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)} +\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil} +\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor} + +% -- Flush left for 'enumerate' numbers +%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left} + +\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta} + +% -- Make reference section title font smaller -- +%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}} + + +% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support -- +% \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign} +% \usepackage[T1]{fontenc} + + +% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) -- +\pagestyle{fancy} +\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} +\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} +\lhead{sol 0930} +\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192} + +% -- Document starts here -- +\begin{document} +\question{18.a}{ + Доказать, что $\displaystyle \exists + \lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\cos 1}{3} + \frac{\cos 2}{3^2} + \ldots + \frac{\cos n}{3^n}\right) + }$ +} + +Пусть $m > n$. +\begin{gather*} +|a_m - a_n| = \left| + \frac{\cos (n)}{3^n} + + \frac{\cos (n + 1)}{3^{n + 1}} + + \ldots + + \frac{\cos m}{3^m} + \right| + <\\ + < + \frac{1}{3^n} + + \frac{1}{3^{n + 1}} + + \ldots + + \frac{1}{3^m} + < + \frac{1}{3^n} \cdot \frac{3}{2} < \frac{1}{3^{n - 1}} +\end{gather*} + +Чтобы выполнялось $\epsilon > a_m - a_n, (m, n > N)$: +$$ + \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} \implies + \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies + \log_3{\frac{1}{\epsilon}} < n - 1 \implies + N > \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1 +$$ +По определению: +\begin{gather*} +\forall \epsilon > 0\ \ \ N = \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1 + 1\\ + \forall m > n > N\ \ \ \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 2 < N < n < m \\ + \frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} > a_m - a_n = |a_m - a_n| +\end{gather*} + +Значит, по критерию Коши последовательность сходится + +\question{18.c}{ + Доказать, что $\displaystyle \exists + \lim_{n\to\infty}{ + \left(\frac{\cos 1!}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2!}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{\cos n!}{n (n + 1)}\right) + }$ +} +Пусть $m > n$. +\begin{align*} +|a_m - a_n| &= \left| + \frac{\cos n!}{n (n + 1)} + + \frac{\cos (n + 1)!}{(n + 1)(n + 2)} + + \ldots + + \frac{\cos m!}{m (m + 1)} + \right| + <\\ + &< + \frac{1}{n (n + 1)} + + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} + + \ldots + + \frac{1}{m (m + 1)} + =\\ + &= + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1} + =\\ + &= + \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} < \frac{1}{n} +\end{align*} + +\begin{gather*} +\forall \epsilon > 0\ \ \ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil + 1 \\ + \forall m > n > N\ \ \ \frac{1}{\epsilon} < N < n < m \\ + \epsilon > \frac{1}{n} > \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} > \ldots > |a_m - a_n| +\end{gather*} + +Значит, по критерию Коши последовательность сходится + +\clearpage + +\question{19.a}{ + Найти частичные пределы $\displaystyle + a_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{2}{n + 1} + $ +} + +\begin{align*} + a_{2k} = 2 + \frac{2}{2k + 1} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = 2\\\\ + a_{2k + 1} = -2 + \frac{2}{2k + 2} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = -2\\ +\end{align*} + +Частичными пределами будут $-2$ и $2$. +Так как это все элементы последовательности, то больше частичных пределов нет. + +\question{19.b}{ + Найти частичные пределы $\displaystyle + a_n = \frac{ + n \cos {\frac{\pi n}{2}} + 1 + }{ + (-1)^n \cdot n^2 + 2 + } + $ +} + +\begin{align*} + a_{4k} = \frac{n + 1}{n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\ + a_{4k + 1} = \frac{1}{-n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\ + a_{4k + 2} = \frac{-n + 1}{n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\ + a_{4k + 3} = \frac{1}{-n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\ +\end{align*} + +Все частичные пределы равны $0$. + +\clearpage + +\question{20}{ + Найти верхний и нижний пределы + \begin{enumerate}[(a)] + \item $\displaystyle a_n = \left( 2 + (-1)^n \right)n$ + \item $\displaystyle b_n = \sqrt[n]{ 1 + 2^{n \cdot (-1)^n} }$ + \end{enumerate} +} + +\begin{enumerate}[(a)] + \item { + \begin{align*} + a_{2k} = 3n &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = +\infty\\ + a_{2k + 1} = n &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = +\infty\\ + \end{align*} + \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} a_n = \varlimsup_{n\to\infty} a_n = +\infty$ + } + \item { + \begin{align*} + b_{2k} = \sqrt[n]{1 + 2^n} &\qquad \lim_{k\to\infty} b_{2k} = \lim_{k\to\infty} 2^{\frac{n}{n}} = 1\\ + b_{2k + 1} = \sqrt[n]{1 + \frac{1}{2^n}} &\qquad \lim_{k\to\infty} b_{2k + 1} = 1\\ + \end{align*} + \text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} b_n = \varlimsup_{n\to\infty} b_n = 1$ + } +\end{enumerate} + +\question{21}{ + \begin{enumerate}[(a)] + \item $a_n = n$ + \item $b_n = n^{(-1)^n} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4},\ \ldots \right\}$ + \item $C = \{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \ \ldots \}$ + \item { + \text{Пусть} $X_{n, k} = n + C_k$, \qquad + $Y = \{ X_{0, 1}, X_{0, 2}, X_{1, 1}, X_{0, 3}, X_{1, 2}, X_{2, 1}, \ \ldots \}$, \\ + тогда $D = \{Y_1, -Y_1, Y_2, -Y_2, \ \ldots\}$ + } + \end{enumerate} +} + +\begin{enumerate}[(a)] + \item $a_n$ очевидно имеет ровно один частичный предел $+\infty$ + \item $b_n$ имеет два частичных предела: $0$ и $+\infty$. + \item любое действительное число из отрезка $[0; 1]$ -- частичный предел $C$ + \item { + любое иррациональное число из отрезка $[n; n + 1]$ -- частичный предел $X_n$, \\ + поэтому любое иррациональное число из $\mathbb{R}_+$ -- частичный предел $Y$, \\ + поэтому любое иррациональное число -- частичный предел $D$. + } +\end{enumerate} + + + +\end{document}
\ No newline at end of file |