1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
|
% -- LaTeX Template for Homework (S. Venkatraman) --
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{
amsmath, amsthm, amssymb, mathtools,
graphicx, subfig, float,
listings, color, inconsolata,
fancyhdr, sectsty, hyperref, enumerate, framed }
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
\flushbottom % Uncomment to make text fill the entire page
\usepackage[bottom]{footmisc} % Anchor footnotes to bottom of page
\renewcommand{\baselinestretch}{1.06} % Adjust line spacing
%\setlength\parindent{0pt} % Remove paragraph indentation
\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper, % Set page margins
left=1.35in, right=1.35in,
top=1.1in, bottom=1in,
headsep=.2in }
% -- Frame settings (for problem statement) --
\setlength\FrameSep{0.55em}
\setlength\OuterFrameSep{\partopsep}
% -- 'question' is a custom command for writing the statement of a problem; first argument
% is the question number, second argument is the statement --
\newcommand{\question}[2]{\begin{framed}\noindent \textbf{#1} #2\end{framed}}
\newcommand{\withbraces}[1]{\left( #1 \right)}
\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
% -- Flush left for 'enumerate' numbers
%\setlist[enumerate]{wide=0pt, leftmargin=21pt, labelwidth=0pt, align=left}
\hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=magenta}
% -- Make reference section title font smaller --
%\renewcommand{\refname}{\normalsize\bf{References}}
% -- Uncomment these lines to set font to 'Charter', with math support --
% \usepackage[bitstream-charter]{mathdesign}
% \usepackage[T1]{fontenc}
% -- Left/right header text and footer (to appear on every page) --
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\lhead{sol 0930}
\rhead{Шарафатдинов Камиль БПМИ192}
% -- Document starts here --
\begin{document}
\question{18.a}{
Доказать, что $\displaystyle \exists
\lim_{n\to\infty}{
\left(\frac{\cos 1}{3} + \frac{\cos 2}{3^2} + \ldots + \frac{\cos n}{3^n}\right)
}$
}
Пусть $m > n$.
\begin{gather*}
|a_m - a_n| = \left|
\frac{\cos (n)}{3^n} +
\frac{\cos (n + 1)}{3^{n + 1}} +
\ldots +
\frac{\cos m}{3^m}
\right|
<\\
<
\frac{1}{3^n} +
\frac{1}{3^{n + 1}} +
\ldots +
\frac{1}{3^m}
<
\frac{1}{3^n} \cdot \frac{3}{2} < \frac{1}{3^{n - 1}}
\end{gather*}
Чтобы выполнялось $\epsilon > a_m - a_n, (m, n > N)$:
$$
\epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} \implies
\frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies
\log_3{\frac{1}{\epsilon}} < n - 1 \implies
N > \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1
$$
По определению:
\begin{gather*}
\forall \epsilon > 0\ \ \ N = \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 1 + 1\\
\forall m > n > N\ \ \ \left\lceil \log_3{\frac{1}{\epsilon}} \right\rceil + 2 < N < n < m \\
\frac{1}{\epsilon} < 3^{n - 1} \implies \epsilon > \frac{1}{3^{n - 1}} > a_m - a_n = |a_m - a_n|
\end{gather*}
Значит, по критерию Коши последовательность сходится
\question{18.c}{
Доказать, что $\displaystyle \exists
\lim_{n\to\infty}{
\left(\frac{\cos 1!}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2!}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{\cos n!}{n (n + 1)}\right)
}$
}
Пусть $m > n$.
\begin{align*}
|a_m - a_n| &= \left|
\frac{\cos n!}{n (n + 1)} +
\frac{\cos (n + 1)!}{(n + 1)(n + 2)} +
\ldots +
\frac{\cos m!}{m (m + 1)}
\right|
<\\
&<
\frac{1}{n (n + 1)} +
\frac{1}{(n + 1)(n + 2)} +
\ldots +
\frac{1}{m (m + 1)}
=\\
&=
\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}
\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}
\ldots
\frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1}
=\\
&=
\frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} < \frac{1}{n}
\end{align*}
\begin{gather*}
\forall \epsilon > 0\ \ \ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil + 1 \\
\forall m > n > N\ \ \ \frac{1}{\epsilon} < N < n < m \\
\epsilon > \frac{1}{n} > \frac{1}{n} - \frac{1}{m + 1} > \ldots > |a_m - a_n|
\end{gather*}
Значит, по критерию Коши последовательность сходится
\clearpage
\question{19.a}{
Найти частичные пределы $\displaystyle
a_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{2}{n + 1}
$
}
\begin{align*}
a_{2k} = 2 + \frac{2}{2k + 1} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = 2\\\\
a_{2k + 1} = -2 + \frac{2}{2k + 2} &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = -2\\
\end{align*}
Частичными пределами будут $-2$ и $2$.
Так как это все элементы последовательности, то больше частичных пределов нет.
\question{19.b}{
Найти частичные пределы $\displaystyle
a_n = \frac{
n \cos {\frac{\pi n}{2}} + 1
}{
(-1)^n \cdot n^2 + 2
}
$
}
\begin{align*}
a_{4k} = \frac{n + 1}{n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\
a_{4k + 1} = \frac{1}{-n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\
a_{4k + 2} = \frac{-n + 1}{n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\\\
a_{4k + 3} = \frac{1}{-n^2 + 2} &\qquad \lim a_{4k} = 0\\
\end{align*}
Все частичные пределы равны $0$.
\clearpage
\question{20}{
Найти верхний и нижний пределы
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\displaystyle a_n = \left( 2 + (-1)^n \right)n$
\item $\displaystyle b_n = \sqrt[n]{ 1 + 2^{n \cdot (-1)^n} }$
\end{enumerate}
}
\begin{enumerate}[(a)]
\item {
\begin{align*}
a_{2k} = 3n &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k} = +\infty\\
a_{2k + 1} = n &\qquad \lim_{k\to\infty} a_{2k + 1} = +\infty\\
\end{align*}
\text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} a_n = \varlimsup_{n\to\infty} a_n = +\infty$
}
\item {
\begin{align*}
b_{2k} = \sqrt[n]{1 + 2^n} &\qquad \lim_{k\to\infty} b_{2k} = \lim_{k\to\infty} 2^{\frac{n}{n}} = 1\\
b_{2k + 1} = \sqrt[n]{1 + \frac{1}{2^n}} &\qquad \lim_{k\to\infty} b_{2k + 1} = 1\\
\end{align*}
\text{Поэтому} $\displaystyle \varliminf_{n\to\infty} b_n = \varlimsup_{n\to\infty} b_n = 1$
}
\end{enumerate}
\question{21}{
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a_n = n$
\item $b_n = n^{(-1)^n} = \left\{ 1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4},\ \ldots \right\}$
\item $C = \{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \ \ldots \}$
\item {
\text{Пусть} $X_{n, k} = n + C_k$, \qquad
$Y = \{ X_{0, 1}, X_{0, 2}, X_{1, 1}, X_{0, 3}, X_{1, 2}, X_{2, 1}, \ \ldots \}$, \\
тогда $D = \{Y_1, -Y_1, Y_2, -Y_2, \ \ldots\}$
}
\end{enumerate}
}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $a_n$ очевидно имеет ровно один частичный предел $+\infty$
\item $b_n$ имеет два частичных предела: $0$ и $+\infty$.
\item любое действительное число из отрезка $[0; 1]$ -- частичный предел $C$
\item {
любое иррациональное число из отрезка $[n; n + 1]$ -- частичный предел $X_n$, \\
поэтому любое иррациональное число из $\mathbb{R}_+$ -- частичный предел $Y$, \\
поэтому любое иррациональное число -- частичный предел $D$.
}
\end{enumerate}
\end{document}
|
