1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
|
\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage[T2A]{fontenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{datetime2}
\input{intro}
\lhead{\color{gray} Матанализ}
\rhead{\color{gray} sol1118}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\array{#1}}
\makeatother
\DeclareMathOperator{\chr}{char}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
%\section*{Abstract}
\question{2}{
Сформулировать определение неравномерной непрерывности
}
Функция $f$ неравномерно непрерывна на $[a, b]$, если она непрерывна на $[a, b]$, но:
\[
\exists \varepsilon > 0 :\ \ \exists x_1, x_2 :\ \ |x_1 - x_2| < \delta(\varepsilon), \left| f(x_1) - f(x_2) \right| \geq \varepsilon
\]
\question{6}{
\[
f(xy) = f(x)f(y) \Rightarrow f(x) = x^a
\]
}
\[
f(1 \cdot 1) = f(1)^2 \Rightarrow f(1)(f(1) - 1) = 0 \Rightarrow
\begin{cases}
f(1) = 0 \Rightarrow f(x) = f(1)f(x) = 0 \Rightarrow f(x) \equiv 0\\
f(1) = 1
\end{cases}
\]
\[
f(x) = f(x^{\frac{1}{n}})f(x^{\frac{n - 1}{n}}) = \ldots = f(\sqrt[n]{x})^n
\]
Из предыдущего равенства следует такое:
\[
\left(f(x^n)\right)^{\frac{1}{n}} = f(x)
\]
Из двух предыдущих:
\[
f(x) = f(x^{\frac{m}{n}})^{\frac{n}{m}}
\]
Так как $f(x)$ - непрерывна, то можем перейти к пределам:
\[
\lim_{x \to x_0} f(x_0) = f(x_0^y)^{\frac{1}{y}}, \ \ y \in \mathbb{R}
\]
\[
\lim_{x \to x_0} f(x_0) = f(x_0^{\log_{x_0}z})^{\log_z x_0} \Rightarrow
f(z) = f(x_0)^{\log_z x_0}, \qquad z \neq 1
\]
Примем $x_0$ за $2$. Тогда $f(x_0) = f(2) = 2^a$ для некоторого $a$.
Для 1 мы доказали, что $f(1) = 1$, а для любого $z \neq 1$:
\[
f(z) = f(2)^{\log_z 2} = 2^{a \log_z 2} = z^a \qed
\]
Непрерывностью я пользовался для перехода к иррациональным числам и скорее всего она здесь нужна при любом решении.
\question{7.b}{
\[
f(x) = \ln x
\]
}
$f(x)$ непрерывна:
\[
\forall \varepsilon > 0 : \qquad
\delta = x_0(1 - \frac{1}{e^\varepsilon}) \Rightarrow
\forall x_1: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow x_0 < e^\epsilon x_1
\Rightarrow \ln \frac{x_0}{x_1} < \ln e^\varepsilon < \varepsilon
\]
Но не равномерно:
\[
\forall \varepsilon, \delta > 0: \qquad
x_1 = \frac{\delta}{2}, x_2 = \frac{\delta}{2e}: \qquad
\ln \frac{x_1}{x_2} = \ln e = 1 > \varepsilon
\]
\question{7.c}{
\[
f(x) = e^x \cos(\frac{1}{x})
\]
}
Чтобы $f(x)$ была равномерно непрерывной мы хотим, чтобы при любом $n$:
\begin{gather*}
e^{\frac{1}{2\pi n}} + e^{\frac{1}{2\pi n + n}} < \varepsilon\\
2e^\frac{1}{2\pi n} < \varepsilon\\
\frac{1}{2\pi n} < \ln \frac{\varepsilon}{2}\\
2\pi n > \frac{1}{\ln \frac{\varepsilon}{2}}\\
n > \frac{1}{\ln \frac{\varepsilon}{2} 2\pi}\\
\end{gather*}
При маленьких $\varepsilon$ это работает, поэтому функция равномерно непрерывна.
\question{7.d}{
\[
f(x) = x + \sinx
\]
}
$f(x)$ непрерывна:
\begin{gather*}
\forall \varepsilon > 0: \qquad
\delta = \frac{\varepsilon}{4}. \qquad
|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow\\
x_1 - x_2 + \sin x_1 - \sin x_2 =
x_1 - x_2 + \sin \frac{x_1 - x_2}{2} \cos \frac{x_1 + x_2}{2} \leq\\
x_1 - x_2 + \sin \frac{x_1 - x_2}{2} \leq
x_1 - x_2 + \frac{x_1 - x_2}{2} < \tfrac{3}{4}\varepsilon < \varepsilon
\end{gather*}
И так как выбор $\delta$ не зависел от $x$, то она равномерно непрерывна
\question{10}{
\[
\overset{\infty}{\underset{n = 2}\cup} \left[ \tfrac{1}{n}, 1 \right] = (0, 1]
\]
}
Понятно, что $\forall n \in \mathbb{N}: \ \ \ [\tfrac{1}{n}, 1] \subseteq (0, 1]$
Докажем, что $\forall x \in (0, 1] \ \ \ \exists n \in \mathbb{N}: \ \ x \in [\tfrac{1}{n}, 1]$:
\[
n = \left\lceil\frac{1}{x}\right\rceil \Rightarrow \frac{1}{n} \leq x \Rightarrow x \in [\tfrac{1}{n}, 1]
\]
Собственно, это и является контрпримером к удверждению в первой части вопроса.
\question{13}{
\[
\overline{0.(002)_3} \ \overset{?} \in \ \Pi
\]
}
Заметим, что на очередном шаге построения множества мы удаляем интервал $(\overline{0.\star 1}, \overline{0.\star 2})$, поэтому, если в троичной записи числа нет единиц, то оно никогда не будет удалено, следовательно, останется в Канторовом множестве.
Так как число бесконечно в троичной системе, то оно не представляется как конечная сумма чисел вида $\frac{1}{3^n}$, поэтому оно никогда не будет концом удаляемого интервала, поэтому это число 2 рода.
\question{14}{
Найти точку Канторова множества на отрезках:
\textbf{(a)} $[0.05, 0.1]$,
\textbf{(b)} $[0.025, 0.5]$
}
\textbf{(a)} Делением в столбик получаем, что
$a = \frac{1}{18} = \overline{0.00(1)}_3$, \qquad
$b = \frac{1}{12} = \overline{0.0(02)}_3$.
Очевидно, что
\[
0.05 < a =
\overline{0.00(1)}_3 <
\overline{0.002}_3 <
\overline{0.0(02)}_3 =
b < 0.1
\]
Так как в записи нет цифры 1, то эта точка принадлежит Канторову множеству. Поэтому $\overline{0.002}_3$ -- искомая.
\medskip
\textbf{(b)} $\frac{1}{3}$ -- точка первого рода и $0.025 < \frac{1}{3} < 0.5$ $\Rightarrow \frac{1}{3}$ -- искомая
\question{15}{
Слишком длинное условие =(
}
Докажем, что $f(x)$ разрывна в точках Канторова множества.
Так как в этом множестве нет изолированных точек и на любом интервале в $\mathbb{R}$, полностью не лежащем в удаленном интервале, есть середина удаленного интервала, то для любой точки множества есть две последовательности, стремящиеся к этой точке по точкам канторова множества и по серединам удаленных отрезков, поэтому в точке множества есть два разных частичных предела (0 и 1), поэтому функция в этих точках разрывна.
\end{document}
|
