diff options
Diffstat (limited to 'alg/alg-7.tex')
| -rw-r--r-- | alg/alg-7.tex | 209 |
1 files changed, 209 insertions, 0 deletions
diff --git a/alg/alg-7.tex b/alg/alg-7.tex new file mode 100644 index 0000000..f28cbc5 --- /dev/null +++ b/alg/alg-7.tex @@ -0,0 +1,209 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{../intro} + +\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}} +\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-6}} +\title{Алгебра 6} + +% -- Here bet dragons -- +\begin{document} +\maketitle +\drawcat{30pt} +\clearpage + +\dmquestion{1} + + Достаточно показать, что многочлен остается на месте для всех транспозиций вида $(i, i + 1)$, тогда он остается на месте для любой перестановки. + + % (x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_1 - x_2 + x_3 - x_4)(x_1 - x_2 - x_3 + x_4) + \begin{itemize}[leftmargin=0.7in] + \item[$(x_1, x_2)$:] + \begin{tabular}{|c} + \( + (x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_2 - x_1 + x_3 - x_4)(x_2 - x_1 - x_3 + x_4) + \)\\ + + последние две скобки поменялись местами и поменяли знак + \end{tabular} + + \item[$(x_2, x_3)$:] + \begin{tabular}{|c} + \( + (x_1 + x_3 - x_2 - x_4)(x_1 - x_3 + x_2 - x_4)(x_1 - x_3 - x_2 + x_4) + \)\\ + + первые две скобки поменялись местами + \end{tabular} + + \item[$(x_3, x_4)$:] + \begin{tabular}{|c} + \( + (x_1 + x_2 - x_4 - x_3)(x_1 - x_2 + x_4 - x_3)(x_1 - x_2 - x_4 + x_3) + \)\\ + + последние две скобки поменялись местами + \end{tabular} + + \end{itemize} + + Значит, многочлен симметрический. + \vspace*{20pt} + + Так так многочлен однородный, то мы можем сразу выписать все мономы, которые входят в разложение (возможно, с нулевыми коэффициентами) + + $L(f) = x_1^3$, поэтому на итерациях алгоритма могут получиться + три разных старших члена: $x_1^3, \ x_1^2 x_2, \ x_1 x_2 x_3$. + Для каждого из них мономы: $\sigma_1^3, \ \sigma_1\sigma_2, \ \sigma_3$. + Причем первый из них точно входит с коэффициентом $1$. + + Теперь, методом неопределенных коэффициентов узнаем коэффициенты остальных мономов: + \[ + f = \sigma_1^3 + A\sigma_1\sigma_2 + B\sigma_3 + \] + \[ + A = -4, \qquad B = 8 + \] + + Получаем: + \[ + f = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 8\sigma_3 + \] + +\dmquestion{2} + + Пусть $x_1, x_2, x_3$ -- корни многочлена + $3\br{ x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{3} }$ + + Тогда нас просят посчитать + \[ + \frac{1}{x_1} + + \frac{1}{x_2} + + \frac{1}{x_3} = + \frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3} + \] + + По теореме Виета + \begin{align*} + \sigma_2 = 0\\ + \sigma_3 = \frac{1}{3} + \end{align*} + + Значит, то, что нам нужно равно $0$. + +\clearpage + +\dmquestion{3} + + Наш многочлен: + \[ + f = x^4 + x - 1 + \] + + Пусть нужный многочлен имеет вид + \[ + g = x^4 - \alpha_1 x^3 + \alpha_2 x^2 - \alpha_3 x + \alpha_4 + \] + + а $x_1, x_2, x_3, x_4$ -- корни нашего многочлена + + Тогда от нас хотят, чтобы: + \begin{align*} + \alpha_4 &= (x_1 x_2 x_3 x_4)^3 =\\ + &= \sigma_4^3 + = -1\\[12pt] + \alpha_3 &= (x_1 x_2 x_3)^3 + (x_1 x_2 x_4)^3 + + (x_1 x_3 x_4)^3 + (x_2 x_3 x_4)^3 =\\ + &= 3 \sigma_4^2 \sigma_1 - 3 \sigma_4 \sigma_3 \sigma_2 + \sigma_3^3 + = -1\\[12pt] + \alpha_2 &= (x_1 x_2)^3 + (x_1 x_3)^3 + (x_1 x_4)^3 + + (x_2 x_3)^3 + (x_2 x_4)^3 + (x_3 x_4)^3\\ + &= 3\sigma_4\sigma_1^2 - 3\sigma_4\sigma_2 - + 3\sigma_1\sigma_3\sigma_2 + 3\sigma_3^2 + + \sigma_2^3 + = 3\\[12pt] + \alpha_1 &= x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 =\\ + &= 3\sigma_3 + \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + = -3 + \end{align*} + + Итого, нужный нам многочлен: + \[ + g = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x - 1 + \] + +\dmquestion{4} + + \newcommand{\almostD}{\ensuremath{\mathrm{D}_\text{почти}}} + + {\color{lightgray} + Здесь было рассуждение про почти дискриминант + \[ + \almostD = (x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_1 - x_3) + \] + + который тоже равен нулю, если есть кратный корень, + но он оказался не симметрическим и пришлось считать обычный :( + } + + %У честного дискриминанта 6 степень и считать его чото не хочется :( + + %Понятно, что \almostD \ равен нулю тогда же, когда и + %$\mathrm{D}_\text{честный}$, а именно, когда есть кратный корень. + + %Как в 1 задаче разложим \almostD \ в элементарные: + %\[ + % \almostD = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_3 + %\] + + \[ + f = x^3 - 3x + \lambda + \] + + \[ + \sigma_1 = 0, \ \ \sigma_2 = -3, \ \ \sigma_3 = -\lambda + \] + + \[ + \mathrm{D}(f) = - 27 \sigma_3^2 - 4 \sigma_3 \sigma_1^3 + + 18 \sigma_3 \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1^2 \sigma_2^2 - + 4 \sigma_2^3 = -27 \sigma_3^2 - 4 \cdot (-27) + \] + + Мы хотим, чтобы дискриминант был равен $0$, значит $-\lambda = \sigma_3 = \pm 2$ + +\dmquestion{5} + + Докажем по индукции, что $\mathbb{N}^k$ с лексикографическим порядком + -- фундированное, из этого сразу будет следовать утверждение задачи. + + База: $\mathbb{N}$ -- очевидно + + Теперь пусть $\mathbb{N}^{k - 1}$ -- фундированное, а $\mathbb{N}^{k}$ -- нет. + + Рассмотрим тогда бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k}$. Назовем ее $C$. $C_i$ тогда -- строчка из натуральных чисел -- `цифр'. + + Теперь посмотрим на те переходы от $C_i$ к $C_{i + 1}$, + когда меняются первые $k - 1$ цифр. + Дальше есть два варианта: таких переходов: + \begin{itemize} + \item[1.] \textit{бесконечное число} + \par + Тогда при каждом таком переходе явно не увеличивается подслово из первых + $k - 1$ цифр, но все-таки, по построению, изменяется. Значит, уменьшается. + Тогда, забыв про последнюю цифру, + мы получим бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k - 1}$. + \item[2.] \textit{конечное число} + Это означает, что начиная с какого-то момента + уменьшается только последняя цифра. + А так как $\mathbb{N}$ тоже фундированное, + то цепь $C$ когда-то закончится. + \end{itemize} + + В любом случае приходим к противоречию, значит, $\mathbb{N}^k$ - фундированное. \qed + + \vspace*{30pt} + + Утверждение задачи -- переформулировка фундированности $\mathbb{N}^n$: + моном однозначно определяется степенями переменных. + +\end{document} |