1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-6}}
\title{Алгебра 6}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{30pt}
\clearpage
\dmquestion{1}
Достаточно показать, что многочлен остается на месте для всех транспозиций вида $(i, i + 1)$, тогда он остается на месте для любой перестановки.
% (x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_1 - x_2 + x_3 - x_4)(x_1 - x_2 - x_3 + x_4)
\begin{itemize}[leftmargin=0.7in]
\item[$(x_1, x_2)$:]
\begin{tabular}{|c}
\(
(x_1 + x_2 - x_3 - x_4)(x_2 - x_1 + x_3 - x_4)(x_2 - x_1 - x_3 + x_4)
\)\\
последние две скобки поменялись местами и поменяли знак
\end{tabular}
\item[$(x_2, x_3)$:]
\begin{tabular}{|c}
\(
(x_1 + x_3 - x_2 - x_4)(x_1 - x_3 + x_2 - x_4)(x_1 - x_3 - x_2 + x_4)
\)\\
первые две скобки поменялись местами
\end{tabular}
\item[$(x_3, x_4)$:]
\begin{tabular}{|c}
\(
(x_1 + x_2 - x_4 - x_3)(x_1 - x_2 + x_4 - x_3)(x_1 - x_2 - x_4 + x_3)
\)\\
последние две скобки поменялись местами
\end{tabular}
\end{itemize}
Значит, многочлен симметрический.
\vspace*{20pt}
Так так многочлен однородный, то мы можем сразу выписать все мономы, которые входят в разложение (возможно, с нулевыми коэффициентами)
$L(f) = x_1^3$, поэтому на итерациях алгоритма могут получиться
три разных старших члена: $x_1^3, \ x_1^2 x_2, \ x_1 x_2 x_3$.
Для каждого из них мономы: $\sigma_1^3, \ \sigma_1\sigma_2, \ \sigma_3$.
Причем первый из них точно входит с коэффициентом $1$.
Теперь, методом неопределенных коэффициентов узнаем коэффициенты остальных мономов:
\[
f = \sigma_1^3 + A\sigma_1\sigma_2 + B\sigma_3
\]
\[
A = -4, \qquad B = 8
\]
Получаем:
\[
f = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 8\sigma_3
\]
\dmquestion{2}
Пусть $x_1, x_2, x_3$ -- корни многочлена
$3\br{ x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{3} }$
Тогда нас просят посчитать
\[
\frac{1}{x_1} +
\frac{1}{x_2} +
\frac{1}{x_3} =
\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3}
\]
По теореме Виета
\begin{align*}
\sigma_2 = 0\\
\sigma_3 = \frac{1}{3}
\end{align*}
Значит, то, что нам нужно равно $0$.
\clearpage
\dmquestion{3}
Наш многочлен:
\[
f = x^4 + x - 1
\]
Пусть нужный многочлен имеет вид
\[
g = x^4 - \alpha_1 x^3 + \alpha_2 x^2 - \alpha_3 x + \alpha_4
\]
а $x_1, x_2, x_3, x_4$ -- корни нашего многочлена
Тогда от нас хотят, чтобы:
\begin{align*}
\alpha_4 &= (x_1 x_2 x_3 x_4)^3 =\\
&= \sigma_4^3
= -1\\[12pt]
\alpha_3 &= (x_1 x_2 x_3)^3 + (x_1 x_2 x_4)^3 +
(x_1 x_3 x_4)^3 + (x_2 x_3 x_4)^3 =\\
&= 3 \sigma_4^2 \sigma_1 - 3 \sigma_4 \sigma_3 \sigma_2 + \sigma_3^3
= -1\\[12pt]
\alpha_2 &= (x_1 x_2)^3 + (x_1 x_3)^3 + (x_1 x_4)^3 +
(x_2 x_3)^3 + (x_2 x_4)^3 + (x_3 x_4)^3\\
&= 3\sigma_4\sigma_1^2 - 3\sigma_4\sigma_2 -
3\sigma_1\sigma_3\sigma_2 + 3\sigma_3^2 +
\sigma_2^3
= 3\\[12pt]
\alpha_1 &= x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 =\\
&= 3\sigma_3 + \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2
= -3
\end{align*}
Итого, нужный нам многочлен:
\[
g = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x - 1
\]
\dmquestion{4}
\newcommand{\almostD}{\ensuremath{\mathrm{D}_\text{почти}}}
{\color{lightgray}
Здесь было рассуждение про почти дискриминант
\[
\almostD = (x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_1 - x_3)
\]
который тоже равен нулю, если есть кратный корень,
но он оказался не симметрическим и пришлось считать обычный :(
}
%У честного дискриминанта 6 степень и считать его чото не хочется :(
%Понятно, что \almostD \ равен нулю тогда же, когда и
%$\mathrm{D}_\text{честный}$, а именно, когда есть кратный корень.
%Как в 1 задаче разложим \almostD \ в элементарные:
%\[
% \almostD = \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_3
%\]
\[
f = x^3 - 3x + \lambda
\]
\[
\sigma_1 = 0, \ \ \sigma_2 = -3, \ \ \sigma_3 = -\lambda
\]
\[
\mathrm{D}(f) = - 27 \sigma_3^2 - 4 \sigma_3 \sigma_1^3 +
18 \sigma_3 \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_1^2 \sigma_2^2 -
4 \sigma_2^3 = -27 \sigma_3^2 - 4 \cdot (-27)
\]
Мы хотим, чтобы дискриминант был равен $0$, значит $-\lambda = \sigma_3 = \pm 2$
\dmquestion{5}
Докажем по индукции, что $\mathbb{N}^k$ с лексикографическим порядком
-- фундированное, из этого сразу будет следовать утверждение задачи.
База: $\mathbb{N}$ -- очевидно
Теперь пусть $\mathbb{N}^{k - 1}$ -- фундированное, а $\mathbb{N}^{k}$ -- нет.
Рассмотрим тогда бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k}$. Назовем ее $C$. $C_i$ тогда -- строчка из натуральных чисел -- `цифр'.
Теперь посмотрим на те переходы от $C_i$ к $C_{i + 1}$,
когда меняются первые $k - 1$ цифр.
Дальше есть два варианта: таких переходов:
\begin{itemize}
\item[1.] \textit{бесконечное число}
\par
Тогда при каждом таком переходе явно не увеличивается подслово из первых
$k - 1$ цифр, но все-таки, по построению, изменяется. Значит, уменьшается.
Тогда, забыв про последнюю цифру,
мы получим бесконечно убывающую цепь в $\mathbb{N}^{k - 1}$.
\item[2.] \textit{конечное число}
Это означает, что начиная с какого-то момента
уменьшается только последняя цифра.
А так как $\mathbb{N}$ тоже фундированное,
то цепь $C$ когда-то закончится.
\end{itemize}
В любом случае приходим к противоречию, значит, $\mathbb{N}^k$ - фундированное. \qed
\vspace*{30pt}
Утверждение задачи -- переформулировка фундированности $\mathbb{N}^n$:
моном однозначно определяется степенями переменных.
\end{document}
|
