1 files changed, 80 insertions, 0 deletions
diff --git a/calc/sol0420.tex b/calc/sol0420.tex
new file mode 100644
index 0000000..628ac5a
--- /dev/null
+++ b/calc/sol0420.tex
@@ -0,0 +1,80 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{../intro}
+
+\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
+\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0420}}
+\title{Матанализ 0420}
+
+% -- Here bet  dragons --
+\begin{document}
+\maketitle
+\drawcat{50pt}
+\clearpage
+
+\dmquestion{1c}{\[
+    f(x, y, z) = \frac{z}{x^2 + y^2}
+\]}
+
+    \begin{align*}
+        \fractial{f}{x} &= -\frac{2 x z}{(x^2 + y^2)^2}\\[8pt]
+        \fractial{f}{y} &= -\frac{2 y z}{(x^2 + y^2)^2}\\[8pt]
+        \fractial{f}{z} &= \frac{1}{x^2 + y^2}\\
+    \end{align*}
+    \[
+        \dif f =
+            -\frac{2 x z}{(x^2 + y^2)^2} \dif x
+            -\frac{2 y z}{(x^2 + y^2)^2} \dif y
+            +\frac{1}{x^2 + y^2} \dif z
+    \]
+
+\dmquestion{5}
+
+    Нормаль к плоскости из условия: $n = (1, -4, 6)$.
+
+    Пусть $F = x^2 - 2y^2 - z^2 - 12 = 0, \nabla F = (2x, -4y, -2z)$.
+
+    Нам требуется решить систему
+    \[
+        \begin{cases}
+            \nabla F (x_0, y_0, z_0)\  \|\  n\\[6pt]
+            F(x_0, y_0, z_0) = 0
+        \end{cases}
+    \]
+
+    Из первого:
+    \[
+        y_0 = 2x_0, \qquad -\frac{1}{3}z_0 = 2x_0, \quad z_0 = -6x_0
+    \]
+
+    Второе:
+    \[
+        x_0^2 - 8x_0^2 - 36x_0^2 - 12 = 0
+    \]
+    \[
+        -43x_0^2 = 12
+    \]
+
+    Но такого в $\mathbb{R}$ не бывает, поэтому у поверхности нет точек, в которых касательная плоскость параллельна плоскости из условия.
+
+\dmquestion{15b}{\[
+    x^y = y^x
+\]}
+\clearpage
+
+\dmquestion{16c}{\[
+    x + y + z = e^z
+\]}
+
+    Продифференцируем обе части равенства по $x$
+    \[
+        1 + \fractial{z}{x} = \fractial{z}{x} e^z
+    \]
+    \[
+        \fractial{z}{x} = \frac{1}{e^z - 1}
+    \]
+
+    Аналогично по $y$, 
+    \[
+        \fractial{z}{y} = \frac{1}{e^z - 1}
+    \]
+\end{document}