1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0420}}
\title{Матанализ 0420}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage
\dmquestion{1c}{\[
f(x, y, z) = \frac{z}{x^2 + y^2}
\]}
\begin{align*}
\fractial{f}{x} &= -\frac{2 x z}{(x^2 + y^2)^2}\\[8pt]
\fractial{f}{y} &= -\frac{2 y z}{(x^2 + y^2)^2}\\[8pt]
\fractial{f}{z} &= \frac{1}{x^2 + y^2}\\
\end{align*}
\[
\dif f =
-\frac{2 x z}{(x^2 + y^2)^2} \dif x
-\frac{2 y z}{(x^2 + y^2)^2} \dif y
+\frac{1}{x^2 + y^2} \dif z
\]
\dmquestion{5}
Нормаль к плоскости из условия: $n = (1, -4, 6)$.
Пусть $F = x^2 - 2y^2 - z^2 - 12 = 0, \nabla F = (2x, -4y, -2z)$.
Нам требуется решить систему
\[
\begin{cases}
\nabla F (x_0, y_0, z_0)\ \|\ n\\[6pt]
F(x_0, y_0, z_0) = 0
\end{cases}
\]
Из первого:
\[
y_0 = 2x_0, \qquad -\frac{1}{3}z_0 = 2x_0, \quad z_0 = -6x_0
\]
Второе:
\[
x_0^2 - 8x_0^2 - 36x_0^2 - 12 = 0
\]
\[
-43x_0^2 = 12
\]
Но такого в $\mathbb{R}$ не бывает, поэтому у поверхности нет точек, в которых касательная плоскость параллельна плоскости из условия.
\dmquestion{15b}{\[
x^y = y^x
\]}
\clearpage
\dmquestion{16c}{\[
x + y + z = e^z
\]}
Продифференцируем обе части равенства по $x$
\[
1 + \fractial{z}{x} = \fractial{z}{x} e^z
\]
\[
\fractial{z}{x} = \frac{1}{e^z - 1}
\]
Аналогично по $y$,
\[
\fractial{z}{y} = \frac{1}{e^z - 1}
\]
\end{document}
|
