1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-2}}
\title{Алгебра 2}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage
\dmquestion{1}
Рассмотрим группу $D_4$. Пусть $H_1$ - группа из симметрий относительно горизонтальной и вертикальной осей симметрий квадрата. В ней находятся $e$, две указанных симметрии и поворот на $\pi$. Методом пристального взгляда убеждаемся, что она нормальна в $D_4$. Теперь возьмем в качестве $H_2$ только одну симметрию. Она нормальна в $H_1$, но не нормальна в $D_4$ например потому, что не коммутирует с любой из диагональных симметрий.
\dmquestion{2}
Рассмотрим $f = h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$.
$H_1$ нормальна, поэтому $h_2 h_1^{-1} h_2^{-1} \in H_1$. Также, $H_1$ - подгруппа и $h_1 \in H_1$,
значит, $f = h_1 (h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}) \in H_1$.
$H_2$ нормальна, поэтому $h_1 h_2 h_1^{-1} \in H_2$. Также, $H_2$ - подгруппа и $h_2 \in H_2$,
значит, $f = (h_1 h_2 h_1^{-1}) h_2^{-1} \in H_2$.
Так как $H_1 \cap H_2 = \{e\}$, то $f = e$, поэтому $h_1 h_2 = h_2 h_1$.
\dmquestion{3}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}
\newcommand{\SL}{\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})}
Пусть $M \in \GL$
принадлежит центру $\GL$.
Возьмем $A_i$ -- матрицу элементарного преобразования, которая умножает $i$-ю строку на $2$ при умножении на нее слева и столбец при умножении на нее справа.
тогда так как $M \in Z(\GL)$, то $MA_i = A_iM$.
Такое равенство выполняется для всех $1 \leqslant i \leqslant n$ тогда, и только тогда, когда в $M$ ненулевые элементы стоят только на диагонали.
Теперь возьмем $B_{ij}$ -- матрицу, которая меняет строки $i$ и $j$.
Умножив $M$ на нее справа и слева получим,
что $i$-ый и $j$-й элементы диагонали равны.
Перебрав $i$ и $j$ получим, что все элементы на диагонали равны. Поэтому $M$ имеет вид $\lambda E$. А такие матрицы коммутируют с любыми.
Для $\SL$ ситуация почти аналогичная, только нам надо брать матрицы преобразования с единичным определителем:
Для первого шага нужно преобразование, которое умножает одну строку на $2$, а другую на $\frac{1}{2}$. Так мы получим, что все матрицы из центра - диагональные. А для второго шага надо брать матрицу, которая меняет местами две пары строк. Но так как перестановочные матрицы уже не коммутируют, то по строкам мы выполняем преобразование в одном порядке, а по столбцам - в другом:
Пусть мы хотим менять строки перестановкой $(12)(23)$, тогда мы меняем столбцы перестановкой $(23)(12)$:
\clearpage
По строкам:
\[
\begin{bmatrix}
1 & & \\
& 2 & \\
& & 3\\
\end{bmatrix}
\overset{(23)}{\mapsto}
\begin{bmatrix}
1 & & \\
& & 3\\
& 2 & \\
\end{bmatrix}
\overset{(12)}{\mapsto}
\begin{bmatrix}
& & 3\\
1 & & \\
& 2 & \\
\end{bmatrix}
\]
По столбцам:
\[
\begin{bmatrix}
1 & & \\
& 2 & \\
& & 3\\
\end{bmatrix}
\overset{(12)}{\mapsto}
\begin{bmatrix}
& 1 & \\
2 & & \\
& & 3\\
\end{bmatrix}
\overset{(23)}{\mapsto}
\begin{bmatrix}
& & 1\\
2 & & \\
& 3 & \\
\end{bmatrix}
\]
Отсюда получаем, что все элементы на диагонали равны, а значит
\[
Z(\SL) = \begin{cases}
\{E\}, &n = 2k + 1\\
\{E, -E\}, &n = 2k
\end{cases}
\]
\dmquestion{4}
Воспользуемся тем фактом, что группа целых чисел - циклическая
\[
(\mathbb{Z}, + ) = \cycle{1}
\]
и любая подгруппа имеет вид $(k\mathbb{Z}, + )$.
Пусть $(\mathbb{Z}, + ) \overset{\phi}{\simeq} (m\mathbb{Z}, + ) \times (n\mathbb{Z}, + )$.
Но так как $\phi$ -- гомоморфизм, то
$
\cycle{1} \mapsto \cycle{\phi(1)}
$.
Но тогда в образе $\phi$ обе координаты всегда пропорциональны, а это явно не вся группа, если ни один из множителей не $\{e\}$. Противоречие.
\end{document}
|
