1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-8}}
\title{Алгебра 8}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
%\drawcat{30pt}
\clearpage
\dmquestion{1}
\[
f = x^5 + x^3 + x, \quad g = x^4 + x + 1
\]
\begin{align*}
(f, g) = (x^5 + x^3 + x, \quad x^4 + x + 1) =\\
(x^3 - x^2, \quad x^4 + x + 1) =\\
(x^3 - x^2, \quad x^2 + x + 1) =\\
(-2x^2 - x, \quad x^2 + x + 1) =\\
(- x, \quad x^2 + x + 1) =\\
(x, \quad x^2 + x + 1) = 1\\
\end{align*}
\dmquestion{2}
Так как $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$, то мы можем записать так:
\[
\frac{1 - \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} = a + b\sqrt[3]{3} + c\sqrt[3]{9}
\]
и умножить на знаменатель обе части ($\alpha = \sqrt[3]{3}$:
\[
1 - \alpha = (a + b\alpha + c\alpha^2)(1 + \alpha - \alpha^2) =
a - b + c + \alpha(a + b - c) + \alpha^2(b + c - a)
\]
Получаем СЛУ
\[
\left[\begin{array}{@{}ccc|c@{}}
1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{array}\right]
\]
Решаем, получаем
\begin{align*}
a &= 0\\
b &= -\frac{1}{2}\\
c &= \frac{1}{2}\\
\end{align*}
\[
\frac{1 - \sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} = -\frac{\sqrt[3]{3}}{2} + \frac{\sqrt[3]{9}}{2}
\]
\dmquestion{3}
Аналогично семинарской задаче:
\[
\mathbb{Q}(\sqrt3 + \sqrt5) = \mathbb{Q}(\sqrt3)(\sqrt{5})
\]
Степень расширения равна $2 \cdot 2 = 4$.
Поэтому по теореме с лекции минимальный многочлен степени $4$.
\begin{align*}
x = \sqrt3 + \sqrt5\\
x^2 = 8 + 2\sqrt{15}\\
(x^2 - 8)^2 = 60\\
x^4 - 16x^2 + 4 = 0
\end{align*}
У нас есть зануляющий многочлен нужной степени, значит, это то, что нам нужно.
\dmquestion{4}
\begin{align*}
x^4 + x^2 + 1 =
(x^2)^2 + x^2 + 1 \\
\text{корни: } x^2 =
\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} =
-\sqrt[3]{-1}; \sqrt[3]{-1}^2\\
x = \left\{ \pm \sqrt[3]{-1}; \pm \sqrt[3]{-1}^2 \right\}
\end{align*}
Теперь видно, что присоединение $\sqrt[3]{-1}$ дает все корни, а степень такого расширения равна $3$.
\end{document}
|
