1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{матан-0518}}
\title{Матанализ 0518 (на 25 мая)}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{50pt}
\clearpage
\dmquestion{1}
\[
F = \begin{cases}
x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 - 5 = 0\\
x_1 - x_2 + y_1^3 - y_2^3 + y_3^3 - 1 = 0\\
x_1^3 + 2x_2^3 + y_2y_3 - 4 = 0
\end{cases}
\]
\begin{itemize}[leftmargin=0.5in,rightmargin=0.5in]
\item[1.] $F(1, 1, 1, 1, 1) = 0$ -- верно
\item[2.] Каждая функция - многочлен,
поэтому дифференцируема бесконечно много раз в любой точке
\item[3.]
\[% x_1, x_2, y_1
\mathrm{Jac}\ (y_2, y_3) \to (x_1, x_2, y_1) = \begin{vmatrix}
2x_1 & 2x_2 & 2y_1\\
1 & -1 & 3y_1^2\\
3x_1^2 & 6x_2^2 & 0
\end{vmatrix}_{\substack{x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ y_1 = 1}} =
\begin{vmatrix}
2 & 2 & 2\\
1 & -1 & 3\\
3 & 6 & 0
\end{vmatrix} = 0
\]
\end{itemize}
Третье условие невыполнено.
\vspace{0.3in}
Для второго отображения первые два условия такие же, поэтому они выполнены.
Осталось проверить третье:
\[% y_1, y_2, y_3
\mathrm{Jac}\ (x_1, x_2) \to (y_1, y_2, y_3) = \begin{vmatrix}
2y_1 & 2y_2 & 2y_3\\
3y_1^2 & -3y_2^3 & 3y_3^2\\
0 & y_3 & y_2
\end{vmatrix}_{\substack{y_1 = 1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 1}} =
\begin{vmatrix}
2 & 2 & 2\\
3 & -3 & 3\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix} = -12
\]
Третье условие выполнено $\Rightarrow$ отображение существует.
\dmquestion{4}
\[
z(1 + x^2) = y(1 + z^4)
\]
возьмем производную от обеих частей уравнения по обеим переменным (по очереди, конечно):
\begin{align*}
z'_x(1 + x^2) + 2zx &= y'_x(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_x\\
2zx &= z'_x(4yz^3 - x^2 - 1)\\
z'_x &= \frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1}
\end{align*}
\begin{align*}
z'_y(1 + x^2) &= y'_y(1 + z^4) + y \cdot 4z^3 z'_y\\
z'_y(1 + x^2 - 4yz^3) &= 1 + z^4\\
z'_y &= \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3}
\end{align*}
Используем полученное:
\begin{align*}
\dif z &= z'_x \dif x + z'_y \dif y =\\
&=\frac{2zx}{4yz^3 - x^2 - 1} \dif x + \frac{1 + z^4}{1 + x^2 - 4yz^3} \dif y
\end{align*}
\dmquestion{8}
\[
F = \begin{cases}
u^3 + 2xv - 1 = 0\\
v^3 - xu + 1 = 0
\end{cases}
\]
\begin{itemize}
\item[1.] $F(x = 0, u = 1, v = -1)$ -- условие выполнено
\item[2.] функции - многочлены, поэтому бесконечно дифференцируемы
\item[3.]
\[
\begin{vmatrix}
3u^2 & 2x\\
-x & 3v^2
\end{vmatrix}_{\substack{x = 0 \\ u = 1 \\ v = -1}} =
9
\] условие выполнено.
\end{itemize}
\end{document}
|
