1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
|
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{../intro}
\lhead{\color{gray} \small \textit{Шарафатдинов Камиль 192}}
\rhead{\color{gray} \small \textit{алг-6}}
\title{Алгебра 6}
% -- Here bet dragons --
\begin{document}
\maketitle
\drawcat{30pt}
\clearpage
\dmquestion{1.1}
Из линейной алгебры мы знаем кучу эквивалентных условий для обратимости матрицы, например, что её определитель не равен нулю.
\dmquestion{1.2}
$A$ делитель нуля $\Leftrightarrow$ $A$ необратима
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Факт с лекции: для любого кольца делитель нуля необратим
\item[$\Leftarrow$] Пусть $A$ необратима,
тогда у системы $Ax = 0$ есть ненулевое решение $(x_1, x_2)$.
Но тогда
\[
A \begin{bmatrix} x_1 & 0\\ x_2 & 0\end{bmatrix} = 0
\]
Обе матрицы ненулевые, а значит $A$ - делитель нуля.
\end{itemize}
\dmquestion{1.3}
Рассмотрим оператор, задаваемый матрицей $A \in M_{2\times2}(\mathbb{C})$ и посчитаем его характеристический многочлен:
\[
\chi(x) = x^2 + ax + b
\]
У него над полем $\mathbb{C}$ два корня:
\[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2}
\]
откуда следует, что мнимые части отличаются только знаком.
Значит, либо оба корня ненулевые и не действительные, либо оба действительные.
Докажем, что они оба действительные: предположим противное, они оба комплексные. Тогда над полем $\mathbb{C}$ ЖНФ оператора имеет вид \[
\begin{bmatrix}
x_1 & 0\\
0 & x_2
\end{bmatrix}
\]
ранг которой равен $2$, но тогда и ранг $A$ равен $2$, значит она обратима,
а значит не может быть нильпотентом.
Тогда оба корня действительные и, по аналогичным соображениям,
один из них равен $0$.
Получается, что $A = CJC^{-1}$, где $J$ - ее Жорданова форма, имеющая вид
\[
\begin{bmatrix}
t & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\text{ или }
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\text{ или }
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]
Ну и понятно, что $A = CJC^{-1}$ - нильпотент для любой обратимой $C$:
\[
A^2 = (CJC^{-1})^2 = CJC^{-1}CJC^{-1} = CJJC^{-1} = 0
\]
\dmquestion{2}
Докажем такой факт: $p \in I \Rightarrow \gcd(p, n) \in I$.
Мы хотим: $\exists x \suchthat px = \gcd(p, n)$ или в целых числах:
$px - yn = \gcd(p, n)$. Но это обычное диофантово уравнение относительно $x$ и $y$,
и оно имеет решения $(x_0 + mn, y_0 + mp), m \in \mathbb{Z}$.
$x$ из решений отличаются на $n$, поэтому найдется $0 \leqslant x < n$, для которого
выполняется $px = \gcd(p, n) (\mathrm{mod}\ n)$, а значит, $\gcd(p, n) \in I$.
Тогда видно, что любой идеал натянут на какие-то делители $n$.
\medskip
Идеал, порожденный каким-то делитель $d$ -- все остатки, делящиеся на $d$:
\begin{itemize}[leftmargin=1in,rightmargin=1in]
\item[1] все, что мы можем получить, умножая $d$ на другие элементы - только остатки, делящиеся на $d$.
\item[2] любой остаток, делящийся на $d$ мы можем получить, просто умножив его на первые несколько остатков ($0d, 1d, 2d, \ldots$)
\end{itemize}
\dmquestion{3}
Пусть $f = (x - 1), \ g = (x - 2)$. Тогда $I = (\{f, g\})$ - идеал.
$f$ (и $g$) единственным образом раскладывается в произведение
двух элементов кольца: $1(x - 1)$ (и $1(x - 2)$).
$f$ и $g$ могут быть порождены только $1$,
поскольку это единственный их общий множитель.
Так как $(1) = \mathbb{Z}[x] \neq I$,
то $I$ не порожден $1$, а значит не порожден никаким элементом кольца. \qed
\end{document}
|
